Kdjykuj

En matematiko, la trigonometriaj funkcioj estas ses funkcioj de angulo.

Ili estas ekvivalente difinebla laŭ diversaj manieroj.

• 
  Geometriaj difinoj:
  
  
  
  • 
    Rilatumoj inter lateroj de orta triangulo enhavantaj la angulon, ĉi tio donas difinon por reelaj valoroj de la variablo inter 0 kaj π/2 (orto).
  
  
  • Longoj de diversaj segmentoj de unuocirklo, ĉi tio donas difinon por ĉiuj reelaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
  
  
  
  


• 
  Algebraj difinoj:
  
  
  
  • Malfiniaj serioj
  
  
  • Solvaĵoj de certaj diferencialaj ekvacioj, ĉi tio donas vastigaĵon al kompleksaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
  
  
  
  

Por ke la geometriaj kaj la algebraj difinoj donu koincidantajn rezultojn, la angulo θ devas esti mezurita en radianoj.

La difino per orta triangulo senpere donas ĉiujn ses funkciojn. En iuj el la aliaj okazaj komence estas difinataj ne ĉiuj funkcioj (sin kaj cos tamen estas difinataj), la aliaj funkcioj estas tiam difinataj per formuloj de kolumno "Ĉefa idento" de la tabelo pli supre.

Skribmanieroj kaj grafikaĵoj |

Grafikaĵoj de sin x kaj cos x

Grafikaĵo de tan x

Sinuso, Kosinuso, Tangento, Kosekanto (punktita), Sekanto (punktita), Kotangento (punktita)

Difinoj per orta triangulo |

Orta triangulo

Trigonometriaj funkcioj estas difinataj per anguloj de orta triangulo per rilatumoj inter longoj de ĝiaj lateroj.

En orta triangulo, la funkcioj de angulo α egalas al rilatumoj inter longoj de la lateroj:

sin⁡α=a/c{displaystyle sin alpha =a/c}

cos⁡α=b/c{displaystyle cos alpha =b/c}

tan⁡α=a/b{displaystyle tan alpha =a/b}

csc⁡α=c/a{displaystyle csc alpha =c/a}

sec⁡α=c/b{displaystyle sec alpha =c/b}

cot⁡α=b/a{displaystyle cot alpha =b/a}

Difinoj per unuocirklo |

La unuocirklo

La trigonometriaj funkcioj kaj funkcioj versin kaj exsec de angulo θ kiel longoj de rektaj segmentoj ĉe unuocirklo

Estu la unuocirklo, la cirklo de radiuso unu centrita je la fonto. De la teoremo de Pitagoro la ekvacio de la unuocirklo estas:

x2+y2=1{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

Estu duonrekto el la fonto (0,0) kun angulo de θ kun la pozitiva duono de la x-akso. La linio sekcas la unuocirklon en punkto, kies x kaj y koordinatoj estas cos θ kaj sin θ respektive.

Por 0<θ<π/2{displaystyle 0<theta <pi /2}, orta triangulo povas esti konstruita per aldono de perpendikularo el la punkto (x, y) al la x-akso.
La triangulo-hipotenuzo de longo egala al radiuso de la cirklo, do egalas al la 1. Longoj de la du aliaj lateroj estas x kaj y. Tiel sin⁡θ=y/1{displaystyle sin theta =y/1} kaj cos⁡θ=x/1{displaystyle cos theta =x/1}, kio koincidas kun la difino per orta triangulo,

Por anguloj pli grandaj ol 2π aŭ malpli grandaj ol -2π, oni simple daŭre turnu la punkton ĉirkaŭ la cirklo. Do, sinuso kaj kosinuso estas periodaj funkcioj kun periodo 2π:

sin⁡θ=sin⁡(θ+2πk){displaystyle sin theta =sin(theta +2pi k)}

cos⁡θ=cos⁡(θ+2πk){displaystyle cos theta =cos(theta +2pi k)}

por ĉiu angulo θ kaj ĉiu entjero k.

La plej malgranda pozitiva periodo, aŭ la primitivo periodo de la funkcio, por sinuso, kosinuso, sekanto kaj kosekanto estas plena cirklo, 2π radianoj aŭ 360 gradoj; la primitivo periodo de tangento kaj aŭ kotangento estas nur duono de cirklo, kio estas π radianoj aŭ 180 gradoj.

Valoro de tangento ŝanĝiĝas malrapide ĉirkaŭ anguloj de kπ, sed ŝanĝi rapide je anguloj proksimaj al (k+1/2)π{displaystyle (k+1/2)pi }.
La grafikaĵo de la tangento havas vertikalajn asimptotojn je θ=(k+1/2)π{displaystyle theta =(k+1/2)pi }. En ĉi tiuj okazo la funkcio proksimiĝas al plus malfinio kiam θ proksimiĝas al (k+1/2)π{displaystyle (k+1/2)pi } de maldekstro kaj la funkcio proksimiĝas al minus malfinio kiam θ proksimiĝas al (k+1/2)π{displaystyle (k+1/2)pi } de dekstro.

Difinoj per malfiniaj serioj |

La sinusa funkcio (blua) estas proksimumata per ĝia polinomo de Taylor f(x) de grado 7 (rozkolora)

Uzante nur geometrion kaj proprecojn de limesoj, eblas montri ke derivaĵo de sinuso estas kosinuso kaj derivaĵo de kosinuso estas negativo de sinuso. (la variablo estas mezurita en radianoj). Do la serioj de Taylor estas:

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}

Interrilato kun eksponenta funkcio kaj kompleksaj nombroj |

Kompleksa sinuso

Kompleksa kosinuso

Kompleksa tangento

El la serioj sekvas ke la sinuso kaj kosinuso estas respektive la imaginara parto kaj la reela parto de la eksponenta funkcio, kiam ĝia argumento estas pure imaginara:

cos⁡x=Re (eix){displaystyle cos x={mbox{Re }}(e^{ix})}

sin⁡x=Im (eix){displaystyle sin x={mbox{Im }}(e^{ix})}

Kaj

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ{displaystyle e^{itheta }=cos theta +isin theta }

Ĉi tiu idento estas la eŭlera formulo en kompleksa analitiko. Ĝi priskribas la unuoblan cirklon en la kompleksa ebeno.

Plue, la serioj permesas difinon por kompleksaj argumentoj z:

sin⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n+1=eiz−e−iz2i=−isinh⁡(iz){displaystyle sin z=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1},=,{e^{iz}-e^{-iz} over 2i}=-isinh(iz)}

cos⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n)!z2n=eiz+e−iz2=cosh⁡(iz){displaystyle cos z=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n},=,{e^{iz}+e^{-iz} over 2}=cosh(iz)}

kie i² = -1.

Difinoj per diferencialaj ekvacioj |

Ambaŭ la sinuso kaj kosinuso kontentigas la diferencialan ekvacion

y″=−y{displaystyle y''=-y}

En la 2-dimensia funkcia spaco V konsistanta el ĉiuj solvaĵoj de ĉi tiu ekvacio, la sinusa funkcio estas la unika solvaĵo kun la komencaj kondiĉoj y(0) = 0 kaj y′(0) = 1, kaj la kosinuso estas la unika solvaĵo kun la komencaj kondiĉoj y(0) = 1 kaj y′(0) = 0. Pro tio ke sinuso kaj kosinuso estas lineare sendependaj, kune ili formas bazon de V. Tio ke sinuso kaj kosinuso kontentigas al y″=−y{displaystyle y''=-y} signifas ke ili estas propraj funkcioj de la dua-derivaĵa operatoro.

La tangento estas la unika solvaĵo de la nelineara diferenciala ekvacio

y′=1+y2{displaystyle y'=1+y^{2}}

kun la komenca kondiĉo y(0) = 0.

Signifo de radianoj |

Radiano estas tia mezurunuo de angulo, kun kiu sinuso kaj kosinuso kontentigas la diferencialan ekvacion

y″=−y{displaystyle y''=-y}

Se argumento al sinuso aŭ kosinuso en radianoj estas skalita per koeficiento,

f(x)=sin⁡(kx){displaystyle f(x)=sin(kx)}

do la derivaĵo estas skalita per la amplitudo:

f′(x)=kcos⁡(kx){displaystyle f'(x)=kcos(kx)}

Ĉi tie, k estas konstanto kiu prezentas surĵeto inter unuoj. Se x estas en gradoj, tiam

k=π180∘{displaystyle k={frac {pi }{180^{circ }}}}

Ĉi tiu signifas ke dua derivaĵo de sinuso en gradoj kontentigas diferencialan ekvacion

y″=−k2y{displaystyle y''=-k^{2}y}

La kosinusa dua derivaĵo kondutas simile.

Proprecoj |

Nulvaloroj |

sin⁡x=0⟺x=kπ,k∈Z{displaystyle sin x=0iff x=kpi ,kin {textbf {Z}}}

cos⁡x=0⟺x=(k+1/2)π,k∈Z{displaystyle cos x=0iff x=(k+1/2)pi ,kin {textbf {Z}}}

tan⁡x=0⟺x=kπ,k∈Z{displaystyle tan x=0iff x=kpi ,kin {textbf {Z}}}

cot⁡x=0⟺x=(k+1/2)π,k∈Z{displaystyle cot x=0iff x=(k+1/2)pi ,kin {textbf {Z}}}

Fazrilatoj inter la unuopaj funkcioj |

sin⁡θ=cos⁡(π2−θ){displaystyle sin theta =cos left({frac {pi }{2}}-theta right)}

cos⁡θ=sin⁡(π2−θ){displaystyle cos theta =sin left({frac {pi }{2}}-theta right)}

tan⁡θ=cot⁡(π2−θ)=1cot⁡θ{displaystyle tan theta =cot left({frac {pi }{2}}-theta right)={frac {1}{cot theta }}}

csc⁡θ=sec⁡(π2−θ){displaystyle csc theta =sec left({frac {pi }{2}}-theta right)}

sec⁡θ=csc⁡(π2−θ){displaystyle sec theta =csc left({frac {pi }{2}}-theta right)}

cot⁡θ=tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ{displaystyle cot theta =tan left({frac {pi }{2}}-theta right)={frac {1}{tan theta }}}

Multoblaj anguloj |

Duoblaj anguloj
sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ =2tan⁡θ1+tan2⁡θ{displaystyle {begin{aligned}sin 2theta &=2sin theta cos theta \&={frac {2tan theta }{1+tan ^{2}theta }}end{aligned}}}	cos⁡2θ=cos2⁡θ−sin2⁡θ=2cos2⁡θ−1=1−2sin2⁡θ=1−tan2⁡θ1+tan2⁡θ{displaystyle {begin{aligned}cos 2theta &=cos ^{2}theta -sin ^{2}theta \&=2cos ^{2}theta -1\&=1-2sin ^{2}theta \&={frac {1-tan ^{2}theta }{1+tan ^{2}theta }}end{aligned}}}	tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan2⁡θ{displaystyle tan 2theta ={frac {2tan theta }{1-tan ^{2}theta }}}	cot⁡2θ=cot2⁡θ−12cot⁡θ{displaystyle cot 2theta ={frac {cot ^{2}theta -1}{2cot theta }}}
Trioblaj anguloj
sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin3⁡θ{displaystyle sin 3theta =3sin theta -4sin ^{3}theta }	cos⁡3θ=4cos3⁡θ−3cos⁡θ{displaystyle cos 3theta =4cos ^{3}theta -3cos theta }	tan⁡3θ=3tan⁡θ−tan3⁡θ1−3tan2⁡θ{displaystyle tan 3theta ={frac {3tan theta -tan ^{3}theta }{1-3tan ^{2}theta }}}	cot⁡3θ=3cot⁡θ−cot3⁡θ1−3cot2⁡θ{displaystyle cot 3theta ={frac {3cot theta -cot ^{3}theta }{1-3cot ^{2}theta }}}
n-oblaj anguloj:
sin⁡nθ=∑k=0n(nk)cosk⁡θsinn−k⁡θsin⁡(12(n−k)π){displaystyle sin ntheta =sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}cos ^{k}theta ,sin ^{n-k}theta ,sin left({frac {1}{2}}(n-k)pi right)}	cos⁡nθ=∑k=0n(nk)cosk⁡θsinn−k⁡θcos⁡(12(n−k)π){displaystyle cos ntheta =sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}cos ^{k}theta ,sin ^{n-k}theta ,cos left({frac {1}{2}}(n-k)pi right)}
Duonaj anguloj
sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2{displaystyle sin {tfrac {theta }{2}}=pm ,{sqrt {frac {1-cos theta }{2}}}}	cos⁡θ2=±1+cos⁡θ2{displaystyle cos {tfrac {theta }{2}}=pm ,{sqrt {frac {1+cos theta }{2}}}}	tan⁡θ2=csc⁡θ−cot⁡θ=±1−cos⁡θ1+cos⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ{displaystyle {begin{aligned}tan {tfrac {theta }{2}}&=csc theta -cot theta \&=pm ,{sqrt {1-cos theta over 1+cos theta }}\&={frac {sin theta }{1+cos theta }}\&={frac {1-cos theta }{sin theta }}end{aligned}}}	cot⁡θ2=csc⁡θ+cot⁡θ=±1+cos⁡θ1−cos⁡θ=sin⁡θ1−cos⁡θ=1+cos⁡θsin⁡θ{displaystyle {begin{aligned}cot {tfrac {theta }{2}}&=csc theta +cot theta \&=pm ,{sqrt {1+cos theta over 1-cos theta }}\&={frac {sin theta }{1-cos theta }}\&={frac {1+cos theta }{sin theta }}end{aligned}}}

Pri tangento kaj kotangento ekzistas rilato inter n+1-obla kaj n-obla argumento:

tan(n+1)θ=tan⁡nθ+tan⁡θ1−tan⁡nθtan⁡θ{displaystyle tan ,(n{+}1)theta ={frac {tan ntheta +tan theta }{1-tan ntheta ,tan theta }}}

cot(n+1)θ=cot⁡nθcot⁡θ−1cot⁡nθ+cot⁡θ{displaystyle cot ,(n{+}1)theta ={frac {cot ntheta ,cot theta -1}{cot ntheta +cot theta }}}

Derivaĵo kaj malderivaĵo |

La derivaĵon kaj la malderivaĵon montras la sekva tabelo.

f(x){displaystyle f(x)}	Derivaĵo df(x)dx{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}}	Nedifinita integralo ∫f(x)dx{displaystyle int f(x),dx}
sin⁡x{displaystyle sin x}	cos⁡x{displaystyle cos x}	−cos⁡x+C{displaystyle -cos x+C}
cos⁡x{displaystyle cos x}	−sin⁡x{displaystyle -sin x}	sin⁡x+C{displaystyle sin x+C}
tan⁡x{displaystyle tan x}	sec2⁡x{displaystyle sec ^{2}x}	−ln⁡|cos⁡x|+C{displaystyle -ln |cos x|+C} (por reela x)
cot⁡x{displaystyle cot x}	−csc2⁡x{displaystyle -csc ^{2}x}	ln⁡|sin⁡x|+C{displaystyle ln |sin x|+C} (por reela x)
sec⁡x{displaystyle sec x}	sec⁡xtan⁡x{displaystyle sec {x}tan {x}}	ln⁡|sec⁡x+tan⁡x|+C{displaystyle ln |sec x+tan x|+C} (por reela x)
csc⁡x{displaystyle csc x}	−csc⁡xcot⁡x{displaystyle -csc {x}cot {x}}	−ln⁡|csc⁡x+cot⁡x|+C{displaystyle -ln |csc x+cot x|+C} (por reela x)

Difinoj per funkciaj ekvacioj |

Oni povas difini la trigonometriajn funkciojn surbaze de iuj el iliaj propraĵoj. Ekzistas akurate unu paro de reelaj funkcioj sin kaj cos tia ke por ĉiuj reelaj nombroj x kaj y jenaj ekvacioj veras:

sin2⁡(x)+cos2⁡(x)=1{displaystyle sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)=1}

sin⁡(x±y)=sin⁡(x)cos⁡(y)±cos⁡(x)sin⁡(y){displaystyle sin(xpm y)=sin(x)cos(y)pm cos(x)sin(y)}

cos⁡(x±y)=cos⁡(x)cos⁡(y)∓sin⁡(x)sin⁡(y){displaystyle cos(xpm y)=cos(x)cos(y)mp sin(x)sin(y)}

kun la aldona kondiĉo ke

0<xcos⁡(x)<sin⁡(x)<x por 0<x<1{displaystyle 0<xcos(x)<sin(x)<x{mbox{ por }}0<x<1}

Periodaj funkcioj |

Sinuso kaj kosinuso povas esti uzataj por studi ajnajn periodaj funkcioj. Ĉiu perioda funkcio de reela variablo povas esti skribita kiel malfinia sumo de sinuso kaj kosinuso de malsamaj frekvencoj; ĉi tiu estas la baza ideo de analizo de Fourier.

Por funkcio f(x) kun periodo a 2π, estu la koeficientoj de Fourier:

an=1π∫−ππf(x)cos⁡(nx)dx{displaystyle a_{n}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)cos(nx),dx}

bn=1π∫−ππf(x)sin⁡(nx)dx{displaystyle b_{n}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)sin(nx),dx}

Tiam la malfinia serio sub certaj kondiĉoj konverĝas al la fonta funkcio f(x):

f(x)=a02+∑n=1∞[ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)]{displaystyle f(x)={frac {a_{0}}{2}}+sum _{n=1}^{infty }[a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx)]}

Ekzemple la kvadrata ondo povas esti skribita kiel la serio de Fourier:

f(x)=4π∑k=1∞sin⁡((2k−1)x)(2k−1){displaystyle f(x)={frac {4}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{sin {((2k-1)x)} over (2k-1)}}

(ĉi tie ĉiuj a_n kaj duono da b_n estas nuloj)

Kalkulado |

La kalkulado de trigonometriaj funkcioj estas ampleksa temo. La unua paŝo en komputado de trigonometriaj funkcioj estas limiga malpligrandigo – malpligrandigo de la donita angulo al "malpligrandigita angulo" en iu certas malgranda limigo de anguloj, ekzemple 0 kaj π/2, uzanta periodecon kaj simetriojn de la trigonometriaj funkcioj.

Fruaj komputiloj tipe komputis trigonometriajn funkciojn per interpolo inter valoroj de anticipe donitaj tabeloj de iliaj valoroj. Ĉi tiaj tabeloj estas tipe generataj per ripetita apliko de la duon-angula kaj angulo-adiciaj formuloj, startanta de sciata valoro (ekzemple sin⁡(π/2)=1{displaystyle sin(pi /2)=1}).

Modernaj komputiloj uzas diversajn teknikojn. Unu komuna maniero estas proksimuma kalkulado per polinomo aŭ racionala funkcio (ekzemple proksimuma kalkulado de Ĉebiŝev, plej bona uniforma proksimuma kalkulado, kaj proksimuma kalkulado de Padé, kaj tipe por pli bona precizeco serio de Taylor kaj serio de Laurent). Kutime la plej proksima angulo estas prenita de malgranda tabelo, kaj poste la polinomo estas uzata por komputi la korektigaĵon.

Sur pli simplaj aparatoj ĉe kiuj mankas aparataraj multiplikantoj, estas algoritmo CORDIC kaj similaj, kiuj uzas nur ŝovojn kaj adiciojn.

Por tre alte precizaj kalkuloj, kiam seria elvolvaĵa konverĝo iĝas malrapidan, trigonometriaj funkcioj povas esti aproksimita per la aritmetiko-geometria meznombro, kiu aproksimas la trigonometria funkcio per la (kompleksa) elipsa integralo.^[1]

Por iuj simplaj anguloj, la valoroj povas esti facile komputita permane uzanta la teoremo de Pitagoro, kiel en jenaj ekzemploj. Valoroj de la funkcioj por ĉiu entjera oblo de π/60 (3°) povas troviĝi akurate.

Estu orta triangulo kie la du aliaj anguloj estas egalaj, kaj pro tio estas ambaŭ π/4. Tiam la longoj de katetoj a kaj b estas interegalaj, estu a = b = 1. La valoroj de sinuso, kosinuso kaj tangento de π/4 povas tiam troviĝi per la teoremo de Pitagoro:

c=a2+b2=2{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}={sqrt {2}}}

kaj do:

sin⁡(π/4)=sin⁡(45∘)=cos⁡(π/4)=cos⁡(45∘)=12{displaystyle sin(pi /4)=sin(45^{circ })=cos(pi /4)=cos(45^{circ })={1 over {sqrt {2}}}}

tan⁡(π/4)=tan⁡(45∘)=sin⁡(π/4)cos⁡(π/4)=12⋅21=22=1{displaystyle tan(pi /4)=tan(45^{circ })={{sin(pi /4)} over {cos(pi /4)}}={1 over {sqrt {2}}}cdot {{sqrt {2}} over 1}={{sqrt {2}} over {sqrt {2}}}=1}

Por kalkuli la funkciojn de anguloj π/3 (60°) kaj π/6 (30°), oni startu de egallatera triangulo kun latera longo 1. Ĉiuj ĝiaj anguloj estas π/3. Per divido de ĝi per mediano, rezultiĝas du ortaj trianguloj ĉi kun anguloj π/6 kaj π/3. Ĉe ĉiu el ĉi tiuj ortaj trianguloj, longo de la plej mallonga kateto estas 1/2, longo de la alia kateto estas (√3)/2 kaj longo de la hipotenuzo estas 1. Do:

sin⁡(π/6)=sin⁡(30∘)=cos⁡(π/3)=cos⁡(60∘)=12{displaystyle sin(pi /6)=sin(30^{circ })=cos(pi /3)=cos(60^{circ })={1 over 2}}

cos⁡(π/6)=cos⁡(30∘)=sin⁡(π/3)=sin⁡(60∘)=32{displaystyle cos(pi /6)=cos(30^{circ })=sin(pi /3)=sin(60^{circ })={{sqrt {3}} over 2}}

tan⁡(π/6)=tan⁡(30∘)=cot⁡(π/3)=cot⁡(60∘)=13{displaystyle tan(pi /6)=tan(30^{circ })=cot(pi /3)=cot(60^{circ })={1 over {sqrt {3}}}}

Vidu ankaŭ |

• Inversa trigonometria funkcio


• Funkcioj coversin, haversin, hacoversin, versin
  


• Teoremo de Pitagoro


• Listo de trigonometriaj identoj


• Pruvoj de trigonometriaj identoj


• Leĝo de sinusoj


• Leĝo de kosinusoj


• Leĝo de tangentoj


• Sfera leĝo de kosinusoj


• Eŭlera formulo


• 
  Ĉenfrakcio de Gaŭso - ĉenfrakcia difino por tangento


• Hiperbola funkcio


• Inversa hiperbola funkcio


• Funkcio de Gudermannian

Referencoj |

1. 
   ↑ R. P. Brent, "Rapida mult-precizeca pritakso de rudimentaj funkcioj", J. ACM 23, 242 (1976).
   

Eksteraj ligiloj |

• http://www.visionlearning.com/library/module_viewer.php?mid=131&l=&c3=


• Maor, Eli, Trigonometrio, ISBN 0-691-09541-8.


• Needham, Tristan, "Enkonduko"" al Vida Kompleksa Analitiko. (1999). ISBN 0-19-853446-9.


• O'Connor, J.J., kaj E.F. Robertson, Trigonometriaj funkcio.


• O'Connor, J.J., kaj E.F. Robertson, "Madhava de Sangamagramma".


• Pearce, Ian G., "Madhava de Sangamagramma".


• 
  Tangento je MathWorld.