Kdjykuj

Simbolo por esprimi senfinecon

Senfineco reprezentita en formo de ekrankopio.

En la matematiko kaj filozofio senfineco (aŭ nefinio aŭ infinito) havas plurajn signifojn, kiuj ĉiuj celas ke la priparolata objekto en ia senco ne havas finon. Ekde antikvaj tempoj filozofoj kaj matematikistoj klopodis kompreni kaj analizi nefinion, sed ofte temis pri misgvidaj argumentoj, ĝis Georg Cantor pli formale kaj rigore analizis la koncepton fine de la 19-a jarcento, interalie enkondukante klaran manieron distingi grandecojn de nefinio.

Matematiko uzas la simbolon ∞ (unikode U+221E) por signi nefiniecon.

Estas grave distingi la diversajn uzojn de la koncepto "senfineco" en la diversaj kampoj de la matematiko. Ekz-e, en analitiko, "senfineco" estas koncepto uzata por paroli pri limo de vico, kiu ne havas reelnombran aŭ kompleksnombran limon; tie havas sencon distingi inter pozitiva kaj negativa senfineco. En aroteorio aliflanke, ne havas sencon paroli pri negativa senfineco, sed tamen ekzistas pluraj malsamaj senfinecoj: Ekz-e oni povas diri ke la aro de reelaj nombroj pli grandas ol la aro de naturaj nombroj, kvankam ambaŭ estas senfinaj. La kialo estas, ke la naturaj nombroj ne sufiĉas por numeri la reelajn.

Historio |

Barato |

Kvar jarcentojn a. K. diversaj barataj tekstoj traktas senfinecon. Upaniŝado mencias ke "se vi forprenas aŭ aldonas parton al senfineco, tiu restas senfineco". Matematika teksto Surya Prajnapti asertas koncepton de tri specoj de kvantoj: nombreblaj (ekzemple naturaj nombroj), nenombreblaj (tre grandaj), kaj senfinaj.

Budhismo |

Iu frua budhisma arto montras dion kun 8-eca simbolo en mano, kiu reprezentas senfinan ciklon.

Antikva Grekujo |

Aristotelo.

Estis aristotela koncepto de ebla senfineco (anstataŭ vera senfineco), ekzemple anstataŭ diri ke ekzistas senfina kvanto da primnombroj, oni diris ke estas pli da primnombroj ol en iu ajn konkreta aro de primnombroj.

Tamen lastatempaj esploristoj asertas ke Arĥimedo ŝajne konceptis veran senfinecon.

Aristotelo instruis la senfinan divideblecon de materio; ĝin kontestis la atomismaj filozofoj, kiuj asertis la ekziston de plej malgrandaj materieroj. Zenono el Elajo elpensis paradoksojn, kiuj montris la nesufiĉecon de finiaj nombroj, ekzemple, ke ne eblas atingi foran celon, ĉar eblas senfine dividi la distancon al ĝi.

Matematiko |

La kalkulo |

Lejbnico, unu el la inventintoj de la infinitezima kalkulo, spekulativis multe pri senfinaj nombroj kaj ties uzoj en matematiko. Li opiniis, ke senfineconaj kaj senfinaj kvantoj estis iaj idealaj ekzistaĵoj, sen la sama naturo de palpeblaj kvantoj, tamen kun similaj ecoj kaj reguloj.

La reela analitiko |

En la reela analitiko, la simbolo ∞ (nomita "infinito") reprezentas nebaritan limeson. x → ∞ signifas ke x kreskas senbare, kaj x → -∞ signifas ke x malkreskas senbare.

Senfineco estas uzata ofte ne nur por difini limeson, sed kiel memstara kvanto aldonita al la aro de reelaj nombroj kiel topologia spaco.

La kompleksa analitiko |

Simile kiel en la reela analitiko, ∞ reprezentas nebaritan sensignan limeson. x → ∞ signifas ke la grando |x| kreskas senbare. Kaj simile, punkto ∞ aldoneblas al la kompleksa spaco kiel topologia spaco.

La nenorma kalkulo |

Origine Lejbnico kaj Neŭtono konceptis senfineconajn kvantojn, sed nesufiĉe rigore, do posteuloj enkondukis la konceptojn de limoj kaj baroj por pliformaligi la matematikon. Tamen en la 20-a jarcento oni malkovris metodon uzi senfineconajn kvantojn pli rigore kaj logike. La inverso de senfinecona kvanto estas senfina. Tiel tiaj kvantoj estas elementoj de korpo, kaj se H estas senfina nombro, do 2+H kaj H+1 estas aliaj malsamaj senfinaj nombroj. Tio estas tute alia alveno ol tiu de Cantor.

La teorio de aroj |

Georg Cantor

Alia speco de "senfineco" estas la ordonombroj kaj kvantonombroj de la aroteorio. Cantor evoluigis sistemon de transfiniaj nombroj, el kiuj la unua estas ℵ₀ (alef-nul), kiu reprezentas la kvantonombron de la aro de naturaj nombroj. Ĉi tiu moderna koncepto naskiĝis en la esploroj de Georg Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind kaj aliaj, baze de la koncepto de aroj, kaj aroj de aroj.

Kerna ideo, dank' al Dedekind, estas tiu de unu-al-unu-rilato inter la elementoj de 2 aroj, kiel metodo kompari la grandojn de la aroj. Ĝi forĵetis la malnovan nocion ke parto ne povas samgrandi al la tuto. Tiam senfina aro difineblas kiel aro kiu havas la saman grandon kiel iu parto de la tuto. Ekzemple, ekzistas same multe da paraj naturaj nombroj kiom da naturaj nombroj.

Cantor plu evoluigis la ideojn, kun distingo de ordonombroj kaj kvantonombroj. Se oni rigardas naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finiaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la kvantonombrojn. Se oni aliflanke rigardas la naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finia ordigita aro, tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn. Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la bone ordigitaj aroj, kiuj estas la ordigitaj aroj ĉe kiuj ĉiu subaro havas plej malgrandan elementon.

La plej malgranda senfina kvantonombro ℵ₀ egalas al la kvanto de naturaj nombroj. Se montreblas unu-al-unu-rilato inter iu aro A kaj la aro de naturaj nombroj, tiam A estas numerebla. Se iu aro A tro grandas por havi unu-al-unu-rilaton kun la naturaj nombroj, tiam A estas nenumerebla.

Unu el la ĉefaj teoremoj de Cantor estas, ke la aro de reelaj nombroj pli grandas ol la aro de naturaj nombroj, t. e. la aro de la reeloj estas nenumerebla. Eble eĉ pli surpriza estas tio, ke la aro de raciaj nombroj ja estas numerebla, ĉar eblas difini unu-al-unu-rilaton inter la du aroj de naturaj nombroj kaj raciaj nombroj. Cantor elpensis utilan pruvan metodon, la diagonalan argumenton, por pruvi tiajn rezultojn.

La kontinuaĵa hipotezo temas pri tio, ĉu ekzistas aro kun kvantonombro inter tiu de la naturaj nombroj kaj tiu de la reelaj nombroj. Estis pruvite ke ĝi nek pruveblas nek kontraŭpruveblas per la kutimaj aroteoriaj aksiomoj (nomataj Zermelo-Fraenkel-aksiomoj kun elekto-aksiomo (ZFE)), do aperas du variaĵoj de aroteorio, depende de tio, ĉu oni supozas ĝin aŭ ĝian malon kiel aldonan aksiomon.

Geometrio kaj topologio |

Senfineco aperas ofte en geometrio kaj topologio. Ekzistas spacoj senfin-dimensiaj.

Fraktoj |

Fraktaloj

Fraktoj estas moderna branĉo de matematiko, kiu temas ofte pri objektoj kiuj prezentas saman aŭ similan strukturon je diversaj niveloj, tiel montrante senfinan detalecon kaj memsimilecon.

Matematiko intence sen senfineco |

Iuj matematikistoj estis skeptikaj ĉu vere validas uzi senfinecon precipe post la akcepto de la kantora aroteorio. Leopold Kronecker kaj aliaj tiel evoluigis sen-senfinecajn matematikojn kaj matematikajn filozofiojn, inkluzive de konstruismo kaj intuiciismo, en kiuj oni ne rajtas supozi ke ekzistas senfinaj kvantoj, procezoj, decidprocezoj, ktp.

Vidu ankaŭ |

• Senfinecono


• Aksiomo de senfineco


• Nombro


• Nulo


• Georg Cantor


• 
  Lasta lekcio en Gotingeno – Bildrakonto kiu prezentas la teoriojn de Georg Cantor kaj Kurt Gödel pri senfineco.

Referencoj |

• 
  Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4 
  


• 
  Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd ed.), http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html 
  


• 
  Maddox, Randall B. (2002), Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics, Academic Press, ISBN 0-12-464976-9 
  


• 
  Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7 
  


• 
  Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company 
  


• David Foster Wallace. (2004) Everything and More: A Compact History of Infinity. Norton, W. W. & Company, Inc.. ISBN 0-393-32629-2.

Bibliografio |

• Amir D. Aczel. (2001) The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. Pocket Books. ISBN 0-7434-2299-6.


• 
  D. P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.


• Bell, J. L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.


• L. C. Jain. (1982) Exact Sciences from Jaina Sources.


• L. C. Jain (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.


• George G. Joseph. (2000) The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2‑a eldono, Penguin Books. ISBN 0-14-027778-1.


• Eli Maor. (1991) To Infinity and Beyond. Princeton University Press. ISBN 0-691-02511-8.


• Rudy Rucker. (1995) Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. ISBN 0-691-00172-3.


• Navjyoti Singh. (1988) Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers 30.

Eksteraj ligiloj |

• 
  Lasta lekcio en Gotingeno (esperante) en PDF-formo


• 
  A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets – Anglalingva enkonduko en la matematikon de senfinaj aroj


• 
  Infinite Reflections – Anglalingva filozofia eseo pri senfineco

• . Infinity is bigger than you think. Numberphile. Brady Haran.


• 
  Infinity, Principia Cybernetica


• Hotel Infinity


• John J. O'Connor kaj Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.


• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.


• Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.


• Source page on medieval and modern writing on Infinity


• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity


• 
  Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo pri matematiko. Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton).