Kdjykuj

Integralebla funkcio – funkcio, por kiu egzistas integralo laŭ senco de ia teorio. Ekzemple estas integralebleco laŭ Riemann, laŭ Lebesgue, laŭ Stieltjes kaj aliaj.
Tamen malgraŭ tio ke teorioj de integraleblaj funkcioj (en diversaj sencoj) estas tre grandaj, plej ofte integraleco signifas laŭ senco de Mezurteorio kiu estas skribita sube. Ĝi estas presakaŭ rekta ĝenralo de integralebleco laŭ Stieltjes.

Difinoj |

Estu (X,F,μ){displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} σ-algebro.

• 
  Simpla funkcio estas funkcio f:X⟶R{displaystyle f:Xlongrightarrow {mathbb {R} }} tiel, ke por iaj realaj nombroj c1,c2,…,cn{displaystyle c_{1},c_{2},ldots ,c_{n}} kaj por disaj aroj A1,A2,…,An∈F{displaystyle A_{1},A_{2},ldots ,A_{n}in {mathcal {F}}} estas

f(x)={ci  x∈Ai, i=1,…,n0  x∈X∖⋃i=1nAi{displaystyle f(x)=left{{begin{matrix}c_{i}& xin A_{i}, i=1,ldots ,n\0& xin Xsetminus bigcup limits _{i=1}^{n}A_{i}\end{matrix}}right.}

por ĉiuj x∈X{displaystyle xin X}.

Se aldone ankaŭ μ(Ai)<∞{displaystyle mu (A_{i})<infty } (por i=1,…,n{displaystyle i=1,ldots ,n}) tiam, funkcio f estas integralebla simpla funkcio kaj integralo de f laŭ mezuro μ{displaystyle mu } estas difinita kiel:

∫f dμ=∑i=1nciμ(Ai){displaystyle int f dmu =sum limits _{i=1}^{n}c_{i}mu (A_{i})}.

• Rimarku, ke kolekto de integraleblaj simplaj funkcioj estas sendependa de lineara kombinaĵo kaj absoluta valoro, ekzemple, se f1,f2{displaystyle f_{1},f_{2}} estas integraleblaj simplaj funkcioj, tiam |f1−f2|{displaystyle |f_{1}-f_{2}|} ankaŭ estas.

• Estu g:X⟶R{displaystyle g:Xlongrightarrow {mathbb {R} }} mezurebla funkcio (kaj sur R{displaystyle {mathbb {R} }} estas σ-korpo de algebro de Borel). Tiam, funkcio g estas integralebla laŭ senco de mezuro μ{displaystyle mu } se oni povas trovi vico de integraleblaj simplaj funkcioj (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin {mathbb {N} }}} kiuj plenumas subajn kondiĉojn:

(a) por ĉiu pozitiva ε>0{displaystyle varepsilon >0} egzistas N∈N{displaystyle Nin {mathbb {N} }} tia, ke ∫|fn−fm| dμ<ε{displaystyle int |f_{n}-f_{m}| dmu <varepsilon } por ĉiuj n,m>N{displaystyle n,m>N}

(b) por ĉiu pozitiva ε>0{displaystyle varepsilon >0},

limn→∞μf({x∈X:|fn(x)−g(x)|⩾ε})=0{displaystyle lim limits _{nto infty }mu fleft(left{xin X:|f_{n}(x)-g(x)|geqslant varepsilon right}right)=0}.

Tiam difino de Integralo de g laŭ mezuro μ{displaystyle mu } estas:

∫g dμ=limn→∞∫fn dμ{displaystyle int g dmu =lim limits _{nto infty }int f_{n} dmu }.

• Inverse, se g estas integralebla (laŭ mezuro μ{displaystyle mu }), tiam ∫g dμ{displaystyle int g dmu } estas korekte difinita, alinome: por ĉiu vico de integraleblaj simplaj funkcioj (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin {mathbb {N} }}} kiuj plenumas kondiĉoj (a) kaj (b) (supere montrita) valoro de limeso limn→∞∫fn dμ{displaystyle lim limits _{nto infty }int f_{n} dmu } estas ĉiam sama.

Rimarkoj |

• En matematiko eblecoj por enkonduki interalojn kaj integraleblecon estas kelkaj. Kutime diferencoj inter ili estas teknika kaj ili havas homogenajn difinojn.


• Kondiĉo (a) en supera difino de funkcio, signifas ke vico (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin {mathbb {N} }}} estas en cetera senco vico de Cauchy. Ĉar: Konsideru funkcio ρ difinita sur paroj de integraleblecajn simplajn funkciojn per kondiĉo ρ(g,g′)=∫|g−g′| dμ{displaystyle rho (g,g')=int |g-g'| dmu }. Tiam ρ estas simetria kaj plenumas neegalaĵon de triangulo kaj ankaŭ, ke g=g′{displaystyle g=g'}.


• Kondiĉo (b) en supera difino, signifas ke vico (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin {mathbb {N} }}} estas konverĝa en seco de mezuro de funkcio f.

Fundamentaj ecoj |

Kiel supren, estu (X,F,μ){displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} mezurebla spaco kun mezuro.

• Se f,g:X⟶R{displaystyle f,g:Xlongrightarrow {mathbb {R} }} estas integraleblecaj, tiam lineara kombinaĵo de ili αf+βg{displaystyle alpha f+beta g} (por α,β∈R{displaystyle alpha ,beta in {mathbb {R} }}) kaj |f|{displaystyle |f|} estas ankaŭ integralebleca.


• Se f,g:X⟶R{displaystyle f,g:Xlongrightarrow {mathbb {R} }}, f estas mezurebla, g estas integralebla kaj μ({x∈X:g(x)<|f(x)|})=0{displaystyle mu ({xin X:g(x)<|f(x)|})=0}, tiam, f estas integralebla (an. mezurebla funkcio, de kiu absoluta valoro estas preskaŭ ĉie pli granda ol integralebla funkcio estas integralebla). Ankaŭ pli:

−∫g dμ⩽∫f dμ⩽∫g dμ{displaystyle -int g dmu leqslant int f dmu leqslant int g dmu }.

• Mezurebla funkcio f estas integralebla tiam kaj nur tiam, kiam absoluta valoro de ĝi |f|{displaystyle |f|} estas integralebla.

• 
  Teoremo de Lebesgue pri barita konverĝeco: Konsideru, ke:

(a) (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin {mathbb {N} }}} estas vico de integraleblaj funkcioj, kiu konverĝas preskaŭ ĉie al funkcio f

(b) g estas integralebla funkcio, tiel ke (∀n∈N)(∀x∈X)(|fn(x)|⩽|g(x)|){displaystyle (forall nin {mathbb {N} })(forall xin X)(|f_{n}(x)|leqslant |g(x)|)}.

Tiam f estas integralebla funkcio. Kaj ankaŭ pli limn∫fndμ=∫fdμ{displaystyle lim _{n}int f_{n}dmu =int fdmu }.

• 
  Lemato de Fatou: Se (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin {mathbb {N} }}} estas ne malpozitiva vico de integraleblaj funkcioj, tiel ke lim infn→∞∫fn dμ<∞{displaystyle liminf _{nto infty }int f_{n} dmu <infty }, tiam funkcio f:X⟶R∪{∞}{displaystyle f:Xlongrightarrow {mathbb {R} }cup {infty }} difinita per

f(x)=lim infn→∞fn(x){displaystyle f(x)=liminf _{nto infty }f_{n}(x)} por x∈X{displaystyle xin X}

estas integralebla. Kaj pli ∫f dμ⩽lim infn→∞∫fn dμ{displaystyle int f dmu leqslant liminf limits _{nto infty }int f_{n} dmu }.