Kdjykuj

Hamiltona mekaniko estas reesprimo de klasika mekaniko far William Rowan Hamilton. Anstataŭ koordinatoj kaj siaj asociata rapidoj en Lagranĝa mekaniko, Hamiltona mekaniko uzas koordinatoj kaj siaj (kanonaj) movokvantoj. Tia elekto estas pli "demokratia" en senco ke la koordinatoj kaj la movokvantoj estas reprezentata simile en la ekvacioj de Hamiltona mekaniko (la ekvacioj de Hamilton), kontraste kun la ekvacioj de Euler–Lagrange de Lagranĝa mekaniko. Ankaŭ, la ekvacioj de Hamilton estas unua-ordaj, konstraste kun la dua-ordaj ekvacioj de Euler–Lagrange.

Difino |

Laŭ hamiltona mekaniko, klasika fizika sistemo konsistas el:

• 
  Simplekta sternaĵo (M,ω){displaystyle (M,omega )}, k.e., para-dimensia reela diferenciala sternaĵo M{displaystyle M} kune kun fermita^[1] nedegenera^[2]diferenciala 2-formo ω{displaystyle omega } (la simplekta formo). La dimensio de M{displaystyle M} estas duobla da la nombro de gradoj de libereco. (Pli ĝenerale oni povas uzi sternaĵon de Poisson anstataŭ simplekta sternaĵo.) Stato estas punkto en M{displaystyle M}.


• Reela funkcio H:R×M→R{displaystyle Hcolon mathbb {R} times Mto mathbb {R} }, la hamiltoniano, kiu estas funkcio de tempo kaj stato, kaj kies valoro estas (almenaŭ por aŭtonoma sistemo) la energio de la sistemo. La sistemo estas aŭtonoma s.n.s. la hamiltoniano ne dependas de tempo.

H=T+V,T=p22m,V=V(q),{displaystyle H=T+V,quad T={frac {p^{2}}{2m}},quad V=V(q),,}

kie T estas la kineta energio, funkcio nur de movokvanto p, kaj V estas la potenciala energio, funkcio nur de la koordinato q.

• Komenca stato x0∈M{displaystyle x_{0}in M}.

La simplekta formo ω{displaystyle omega } difinas izomorfion V↦ω(V,⋅){displaystyle Vmapsto omega (V,cdot )} inter la spaco de vektoroj TxM{displaystyle T_{x}M} kaj la spaco de kovektoroj Tx∗M{displaystyle T_{x}^{*}M} ĉe ĉiu punkto x∈M{displaystyle xin M} — kaj tiel inter vektoraj kampoj kaj 1-formoj (kovektoraj kampoj). Difinu la (2,0)-tensoron ω−1{displaystyle omega ^{-1}}. Oni povas do difini la hamiltonan vektoran kampon XH{displaystyle X_{H}} kiel

XH(t)=ω−1(dH(t),⋅){displaystyle X_{H}(t)=omega ^{-1}(operatorname {d} !H(t),cdot )}.

La stato x(t){displaystyle x(t)} evoluas laŭ la ekvacio de Hamilton, kiu asertas ke la evoluo de la stato sekvas la hamiltonan vektoran kampon. Alivorte:

x˙(t)=XH(t,x(t))=ω−1(dH(t,x(t)),⋅){displaystyle {dot {x}}(t)=X_{H}(t,x(t))=omega ^{-1}(operatorname {d} !H(t,x(t)),cdot )}.

Tiu ĉi estas la ekvacio de movado de hamiltona sistemo.

Loke, oni povas difini lokan koordinatsistemon (qi,pi){displaystyle (q_{i},p_{i})} (i=1,…,dim⁡M/2{displaystyle i=1,dots ,dim M/2}) tian ke la formo ω{displaystyle omega } fariĝas:

ωij=(0Idim⁡M/2−Idim⁡M/20){displaystyle omega _{ij}={begin{pmatrix}0&I_{dim M/2}\-I_{dim M/2}&0end{pmatrix}}}

kie In{displaystyle I_{n}} estas n×n{displaystyle ntimes n} identa matrico. Simile,

(ω−1)ij=(0−Idim⁡M/2Idim⁡M/20){displaystyle (omega ^{-1})^{ij}={begin{pmatrix}0&-I_{dim M/2}\I_{dim M/2}&0end{pmatrix}}}.

Do la kanonaj ekvacioj de Hamilton fariĝas:

q˙i=∂H∂pi{displaystyle {dot {q}}_{i}={frac {partial H}{partial p_{i}}}}

p˙i=−∂H∂qi{displaystyle {dot {p}}_{i}=-{frac {partial H}{partial q_{i}}}}.

Ni observu ke la koordinatoj qi{displaystyle q_{i}} kaj la movokvantoj pi{displaystyle p_{i}} estas traktitaj simile (kontraste kun la ekvacioj de Euler–Lagrange de lagranĝa mekaniko).

Krampoj de Poisson |

La krampoj de Poisson {⋅,⋅}{displaystyle {cdot ,cdot }} de du skalaraj kampoj f,g:M→R{displaystyle f,gcolon Mto mathbb {R} } estas difinitaj kiel

{f,g}=−ω−1(df,dg){displaystyle {f,g}=-omega ^{-1}(operatorname {d} !f,operatorname {d} !g)}.

Loke,

{f,g}=∂f∂q∂g∂p−∂f∂p∂g∂q{displaystyle {f,g}={frac {partial f}{partial q}}{frac {partial g}{partial p}}-{frac {partial f}{partial p}}{frac {partial g}{partial q}}}.

Ilia uzo simpligas la ekvacioj de Hamilton al

q˙i={q,H}{displaystyle {dot {q}}_{i}={q,H}}

p˙i={p,H}{displaystyle {dot {p}}_{i}={p,H}}.

Do la evoluo de ia funkcio f:R×M→R{displaystyle fcolon mathbb {R} times Mto mathbb {R} } de tempo kaj stato estas

f˙=∂f∂qq˙+∂f∂pp˙+∂f∂t={f,H}+∂f∂t{displaystyle {dot {f}}={frac {partial f}{partial q}}{dot {q}}+{frac {partial f}{partial p}}{dot {p}}+{frac {partial f}{partial t}}={f,H}+{frac {partial f}{partial t}}}.

Alivorte, ĝenerale,

ddt={⋅,H}+∂∂t{displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !t}}={cdot ,H}+{frac {partial }{partial t}}}.

Ni vidu ke kvanto konserviĝas se ĝiaj krampoj kune kun la hamiltoniano nulas (kaj ĝi ne dependas rekte de tempo).

Principo de senmova ago por hamiltonaj sistemoj |

Similaĵo al la principo de senmova ago por lagranĝa sistemo ekzistas por hamiltona sistemo.
Nomu la spacon de kurboj el x0∈M{displaystyle x_{0}in M} al x1∈M{displaystyle x_{1}in M} Γ(x0,x1){displaystyle Gamma (x_{0},x_{1})}.
Difinu la agon S:Γ(x0,x1)→R{displaystyle Scolon Gamma (x_{0},x_{1})to mathbb {R} } kiel

S[γ]=∫t0t1(∑ipi(t)q˙i(t)−H(t,q,p))dt{displaystyle S[gamma ]=int _{t_{0}}^{t_{1}}left(sum _{i}p_{i}(t){dot {q}}_{i}(t)-H(t,q,p)right);operatorname {d} !t}.

Do la ago estas senmova ĉe la trajektorio. Notu ke, por hamiltona sistemo, oni fiksas ambaŭ la koordinatojn kaj la movokvantojn, kontraste kun la principo de senmova ago por lagranĝa sistemo, kie oni fiksas solajn la koordinatojn, ne la rapidojn.

Skizo de pruvo.

δS=δ(∫(pq˙−H)dt{displaystyle delta S=delta (int (p{dot {q}}-H)operatorname {d} !t}

=∫(δpq˙+pδq˙−∂H∂qδq−∂H∂pδp)dt{displaystyle =int left(delta p{dot {q}}+pdelta {dot {q}}-{frac {partial H}{partial q}}delta q-{frac {partial H}{partial p}}delta pright)operatorname {d} !t}

=∫(δp(q˙−∂H∂p)−δq(p˙+∂H∂q))dt{displaystyle =int left(delta pleft({dot {q}}-{frac {partial H}{partial p}}right)-delta qleft({dot {p}}+{frac {partial H}{partial q}}right)right)operatorname {d} !t}.

∴ q˙=∂H/∂p{displaystyle {dot {q}}=partial H/partial p} kaj p˙=−∂H/∂q{displaystyle {dot {p}}=-partial H/partial q} se δS=0{displaystyle delta S=0} por iu ajn δq{displaystyle delta q} kaj δp{displaystyle delta p}. ∎

Teoremo de Liouville |

Natura voluma formo ekzistas sur simplekta sternaĵo (M,ω){displaystyle (M,omega )}, kiu estas ωn{displaystyle omega ^{n}} (dim⁡M=2n{displaystyle dim M=2n}). Konsideru distribuon (de ensemblo aŭ probablo) ρ:M→R{displaystyle rho colon Mto mathbb {R} }. La kvanto N=∫Mρωn{displaystyle N=int _{M}rho omega ^{n}} (=1{displaystyle =1} por probablodistribuo) devas konserviĝi; do la distribuo devas verigi la ekvacio de kontinueco:

∂tρ+∂i(XHiρ)=0{displaystyle partial _{t}rho +partial _{i}(X_{H}^{i}rho )=0},

kie XH{displaystyle X_{H}} estas la hamiltona vektora kampo kaj i=1,…,dim⁡M{displaystyle i=1,dotsc ,dim M} estas sumita. Do

ρ˙=∂tρ+XHi∂iρ{displaystyle {dot {rho }}=partial _{t}rho +X_{H}^{i}partial _{i}rho }

=−ρ∂iXHi{displaystyle =-rho partial _{i}X_{H}^{i}}

=0{displaystyle =0}. (Ĉar ∂iXHi∝∂i(ωij∂jH)=(∂iωij)∂jH+ωij∂i∂jH{displaystyle partial _{i}X_{H}^{i}propto partial _{i}(omega ^{ij}partial _{j}H)=(partial _{i}omega ^{ij})partial _{j}H+omega ^{ij}partial _{i}partial _{j}H}; la unua termo nulas ĉar fermiteco de ω{displaystyle omega }, la dua ĉar antisimetrio de ω{displaystyle omega }.)

Do la probabla denso konserviĝas laŭ hamiltona fluo. Tiu ĉi estas la teoremo de Liouville, pruvita de la usona fizikisto Josiah Willard Gibbs^[3] kaj nomita laŭ la franca matematikisto Joseph Liouville.

Notoj |

1. 
   ↑ diferenciala formo α{displaystyle alpha } estas fermita s.n.s. dα=0{displaystyle operatorname {d} !alpha =0}.
   


2. 
   ↑ k.e., por ĉiu nenula vektoro X∈TxM{displaystyle Xin T_{x}M} ekzistas vektoro Y∈TxM{displaystyle Yin T_{x}M} tia ke ω(X,Y)≠0{displaystyle omega (X,Y)neq 0}.
   


3. 
   ↑ JW Gibbs, Elementary principles in statistical mechanics (Elementaj principoj de statistika mekaniko), 1902.
   

Referencoj |

• 
  LD Landau, EM Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press.


• KC Gupta, Classical mechanics of particles and rigid bodies, Wiley, 1988.


• H Goldstein, CP Poole, JL Safko, Classical Mechanics. Addison-Wesley.


• C Lanczos, The variational principles of mechanics. Dover, 1986, ISBN 0486650677.


• F Kuypers, Klassische Mechanik Wiley-Vch, 2008, ISBN 3527407219.


• ВИ Арнольд, Математические методы классической механики. 3a eld. Moskvo: Наука, 1989.
  
  • 
    Angla traduko VI Arnold, Mathematical methods of mathematical physics, 2a eld. Novjorko: Springer-Verlag, 1989. ISBN 0387968903
    
  
  

Bibliografio |

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelono, p.158 - 175, 1991. ISBN 84-291-4081-6.(hispane)


• Weisstein, Eric W., "Hamiltoniano" (angle)


• Binney, James, "Klasika mekaniko" (Postscripta formato PS) Notoj de lekcio (Portabla documenta formato PDF) (angle)