Malderivaĵo
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Se f estas funkcio kun reela aŭ kompleksa argumento, nomatas kiel malderivaĵo ĉiu funkcio g, kies derivaĵo egalas al f, t.e. g′ = f.
Laŭ la fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo, la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam estas unu el la malderivaĵoj de f.
| Funkcio | Derivaĵo | malderivaĵo |
|---|---|---|
| f(x)=k{displaystyle f(x)=k;} | f′(x)=0{displaystyle f'(x)=0;} | F(x)=kx+C{displaystyle F(x)=kx+C;} |
| f(x)=xq{displaystyle f(x)=x^{q};} | f′(x)=qxq−1{displaystyle f'(x)=qx^{q-1};} | F(x)={xq+1q+1+C,se q≠−1ln|x|+C,se q=−1{displaystyle F(x)=left{{begin{matrix}{frac {x^{q+1}}{q+1}}+C,&{mbox{se q}}neq -1\ln |x|+C,&{mbox{se q}}=-1end{matrix}}right.} |
| f(x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x};} | f′(x)=ex{displaystyle f'(x)=e^{x};} | F(x)=ex+C{displaystyle F(x)=e^{x}+C;} |
| f(x)=ax{displaystyle f(x)=a^{x};} | f′(x)=axlna{displaystyle f'(x)=a^{x}ln a;} | F(x)=axlna+C{displaystyle F(x)={frac {a^{x}}{ln a}}+C;} |
| f(x)=lnx{displaystyle f(x)=ln x;} | f′(x)=1x{displaystyle f'(x)={frac {1}{x}};} | F(x)=xlnx−x+C{displaystyle F(x)=xln x-x+C;} |
| f(x)=logax{displaystyle f(x)=log _{a}x;} | f′(x)=1x1lna{displaystyle f'(x)={frac {1}{x}}{frac {1}{ln a}};} | F(x)=1lna(xlnx−x)+C{displaystyle F(x)={frac {1}{ln a}}(xln x-x)+C;} |
| f(x)=sinx{displaystyle f(x)=sin x;} | f′(x)=cosx{displaystyle f'(x)=cos x;} | F(x)=−cosx+C{displaystyle F(x)=-cos x+C;} |
| f(x)=cosx{displaystyle f(x)=cos x;} | f′(x)=−sinx{displaystyle f'(x)=-sin x;} | F(x)=sinx+C{displaystyle F(x)=sin x+C;} |
| f(x)=tanx{displaystyle f(x)=tan x;} | f′(x)=1cos2x{displaystyle f'(x)={frac {1}{cos ^{2}x}};} | F(x)=−ln|cosx|+C{displaystyle F(x)=-ln left|cos xright|+C;} |
| f(x)=cotx{displaystyle f(x)=cot x;} | f′(x)=1sin2x{displaystyle f'(x)={frac {1}{sin ^{2}x}};} | F(x)=ln|sinx|+C{displaystyle F(x)=ln left|sin xright|+C;} |
| f(x)=arcsinx{displaystyle f(x)=arcsin x;} | f′(x)=11−x2{displaystyle f'(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}};} | F(x)=xarcsinx+1−x2{displaystyle F(x)=xarcsin x+{sqrt {1-x^{2}}};} |
| f(x)=arccosx{displaystyle f(x)=arccos x;} | f′(x)=−11−x2{displaystyle f'(x)={frac {-1}{sqrt {1-x^{2}}}};} | F(x)=xarccosx−1−x2{displaystyle F(x)=xarccos ;x-{sqrt {1-x^{2}}};} |
| f(x)=arctanx{displaystyle f(x)=arctan x;} | f′(x)=11+x2{displaystyle f'(x)={frac {1}{1+x^{2}}};} | F(x)=xarctanx−12ln(1+x2){displaystyle F(x)=xarctan x-{frac {1}{2}}lnleft(1+x^{2}right);} |
| f(x)=sinhx{displaystyle f(x)=sinh x;} | f′(x)=coshx{displaystyle f'(x)=cosh x;} | F(x)=coshx{displaystyle F(x)=cosh x;} |
| f(x)=coshx{displaystyle f(x)=cosh x;} | f′(x)=sinhx{displaystyle f'(x)=sinh x;} | F(x)=sinhx{displaystyle F(x)=sinh x;} |
| f(x)=tanhx{displaystyle f(x)=tanh x;} | f′(x)=1cosh2x{displaystyle f'(x)={frac {1}{cosh ^{2}x}};} | F(x)=ln|coshx|{displaystyle F(x)=ln left|cosh xright|;} |
| f(x)=cothx{displaystyle f(x)=coth x;} | f′(x)=−1sinh2x{displaystyle f'(x)={frac {-1}{sinh ^{2}x}};} | F(x)=ln|sinhx|{displaystyle F(x)=ln left|sinh xright|;} |
| f(x)=arcsinhx{displaystyle f(x)={text{arcsinh}};x;} | f′(x)=1x2+1{displaystyle f'(x)={frac {1}{sqrt {x^{2}+1}}};} | F(x)=xarcsinhx−x2+1{displaystyle F(x)=x;{text{arcsinh}};x-{sqrt {x^{2}+1}};} |
| f(x)=arccoshx{displaystyle f(x)={text{arccosh}};x;} | f′(x)=1x2−1,x>1{displaystyle f'(x)={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}};,;x>1} | F(x)=xarccoshx−x2−1{displaystyle F(x)=x;{text{arccosh}};x-{sqrt {x^{2}-1}};} |
| f(x)=arctanhx{displaystyle f(x)={text{arctanh}};x;} | f′(x)=11−x2,|x|<1{displaystyle f'(x)={frac {1}{1-x^{2}}};,;left|xright|<1} | F(x)=xarctanhx+12ln(1−x2){displaystyle F(x)=x;{text{arctanh}};x+{frac {1}{2}}ln {left(1-x^{2}right)};} |
| f(x)=arccothx{displaystyle f(x)={text{arccoth}};x;} | f′(x)=11−x2,|x|>1{displaystyle f'(x)={frac {1}{1-x^{2}}};,;left|xright|>1} | F(x)=xarccothx+12ln(x2−1){displaystyle F(x)=x;{text{arccoth}};x+{frac {1}{2}}ln {left(x^{2}-1right)};} |
Vidu ankaŭ |
- Listo de integraloj de racionalaj funkcioj
- Listo de integraloj de malracionalaj funkcioj
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