Teorio de kaoso
Grafika prezento de la trajektorio Lorenz--sistemo por valoroj r = 28, σ = 10, b = 8/3
En matematiko kaj fiziko, la teorio de kaoso aŭ kaosa teorio traktas la konduton de certaj nelinearaj dinamikaj sistemoj, kiuj estas tre sentemaj pri komencaj kondiĉoj. Ili montras fenomenon nomitan kaoso. Inter la karakterizoj de kaoso-sistemoj, priskribitaj pli sube, estas sentkapablo al komencaj kondiĉoj (populare nomitaj la papilia efiko). Pro tiu sentkapablo, la konduto de sistemoj, kiuj montras kaoson, ŝajnas esti hazardaj, eĉ kvankam la modelo de la sistemo estas determina en la senco, ke ĝi estas bone difinita kaj enhavas neniajn hazardajn parametrojn. Ekzemploj de tiaj sistemoj inkluzivas la atmosferon, la sunsistemon, platan tektonikon, turbulajn fluojn, ekonomion, kaj loĝantaran kreskon.
Sistemoj kiuj montras matematikan kaoson estas determinaj kaj tial bonordaj iasence; ĉi tiu teknika uzo de la vorto kaoso estas malsama al ordinara lingvaĵo, kiu pensigas tutan malordon. [Vidu la artikolo sur mitologia kaoso por diskuto pri la origino de la vorto en mitologio, kaj alia uzoj.] Rilata kampo de fiziko nomita teorio de kvantumaj kaosoj studas ne-determinajn sistemojn, kiuj sekvas la leĝojn de kvantummekaniko.
Enhavo
1 Kaosa dinamiko
2 Altenaĵoj
3 Strangaj allogaĵoj
4 Historio
5 Matematika teorio
5.1 Minimuma komplekseco de kaosasistemo
6 Aliaj ekzemploj de kaosasistemoj
7 Apliko
8 Vidu ankaŭ
9 Eksteraj ligiloj
Kaosa dinamiko |
Por ke dinamika sistemo estu klasifikita kiel kaosa, laŭ la plejmulto de sciencistoj ĝi devas havi jenajn propraĵojn:
- ĝi estu delikata al komencaj kondiĉoj
- ĝi estu topologie miksanta
- ĝiaj periodaj orbitoj estu densaj
Sentkapablo al komencaj kondiĉoj signifas, ke du punktoj en tia sistemo povas moviĝi en vaste malsamaj trajektorioj en ilia faza spaco, eĉ se la diferenco inter iliaj komencaj konfiguroj estas tre malgrandaj. La sistemoj kondutas idente nur se siaj komencaj konfiguroj estas precize samaj.
Sentkapablo al komencaj kondiĉoj estas populare konata kiel la "papilia efiko", sugestanta, ke la klakado de papiliaj aloj povus krei liliputajn ŝanĝojn en la atmosfero, kiuj povis tra la tempo kaŭzi, ke okazu tornado. La klakantaj aloj prezentas malgrandajn ŝanĝojn en la komenca kondiĉo de la sistemo, kiuj kaŭzas ĉenon de eventoj kondukante al grandskalaj fenomenoj. Se la papilio ne klakus siajn alojn, la trajektorio de la sistemo povus sekvi vaste malsamus.
Sentkapablo al komencaj kondiĉoj estas ofte konfuzita kun kaoso en popularaj klarigoj, sed tio en si estas ne aparte interesa. Kiel ekzemplo, konsideru la dinamikan sistemon difinitan sur la reala linio per surĵeto x al 2x. Ĉi tiu sistemo havas delikatan dependecon sur komencaj kondiĉoj ĉie, sed havas ege simplan (linearan) konduton.
Topologie miksanta signifas, ke la sistemo evoluos tra tempo tiel ke iu ajn donita regiono aŭ malfermita aro de ĝia faza spaco povos parte interkovri iun ajn alian donitan regionon. Ĉi tie, "miksanta" estas reale intencita konformi al la norma intuicio: la miksado de kolorigitaj farboj aŭ fluaĵoj estas ekzemplo de kaososistemo.
Altenaĵoj |
Iuj dinamikaj sistemoj estas kaosaj ĉie (vidu ekz. en glata izomorfio de Anosov) sed en multaj kazoj kaosa konduto estas trovata nur en subaro de faza spaco. La kazoj de pleja intereso estiĝas kiam la kaosa konduto okazas sur altenaĵo, ĉar tiam granda aro de komencaj kondiĉoj kondukos al orbitoj, kiuj konverĝas al ĉi tiu kaosa regiono.
Facila maniero bildigi kaosan allogaĵon estas komenci per punkto en la baseno de allogaĵo de la allogaĵo, kaj tiam simple grafike prezenti ĝian sinsekvan orbiton. Pro la topologia transitiveca kondiĉo, tio probable produktos bildon de la tuta fina allogaĵo.
Faza figuro por amortizita gvidita pendolo, kun duopa periodo-moviĝo
Ekzemple, en sistemo priskribanta pendolon, la faza spaco povus esti du-dimensia, konsistanta el informo pri pozicio kaj rapido. Oni povus grafike prezenti la pozicion de pendolo kontraŭ ĝia rapido. Pendolo ripozanta estos grafike prezentita kiel punkton, kaj iu en perioda moviĝo estos grafike prezentita kiel simplan fermitan kurbon. Kiam tia grafika prezento formas fermitan kurbon, la kurbo estas nomita orbito. Nia pendolo havas malfinian nombron da tiaj orbitoj, formantaj krajonon de nestitaj elipsoj ĉirkaŭ la fonto.
Strangaj allogaĵoj |
Dum la plejparto de la moviĝo-tipoj supre menciitaj estigas tre simplajn allogaĵojn, kiaj punktoj kaj cirklecaj kurboj nomitaj limigo-cikloj, kaosa moviĝo estigas tion, kio estas nomata strangaj allogaĵoj, allogaĵoj, kiuj povas havi grandajn detalon kaj kompleksecon.
Ekzemple, simpla tri-dimensia modelo de la Lorenz-a vetera sistemo estigas la faman Lorenz-an allogaĵon. La Lorenz-a allogaĵo estas eble unu el la plej vast-konataj kaososistemaj figuroj, kredeble, ĉar, ne nur ĝi estis unu el la unuaj, sed ĝi estas unu el la plej kompleksaj kaj kiel tia estigas tre interesan ŝablonon kiu aspektas kvazaŭ la aloj de papilio. Alia tia allogaĵo estas la Rössler-a Mapo, kiu spertas periodo-du duobligantan vojon al kaoso, kiel la logistika mapo.
Strangaj allogaĵoj okazas en kaj kontinuaj dinamikaj sistemoj (kiel la sistemo de Lorenz) kaj en iuj diskretaj sistemoj (kiel mapo de Hénon). Aliaj diskretaj dinamikaj sistemoj havi forpelan strukturon nomitan Juliina aro kiu formiĝas ĉe la rando inter basenoj de allogaĵo de fiksaj punktoj - Juliinaj aroj povas esti konsiderataj strangaj forpelaĵoj. Kaj strangaj allogaĵoj, kaj Juliinaj aroj tipe havas fraktalan strukturon.
La teoremo de Poincaré-Bendixson montras, ke stranga allogaĵo povas ekesti nur en kontinua dinamika sistemo se ĝi havas tri aŭ pli da dimensioj. Tamen, neniu tia limigo aplikiĝas al diskretaj sistemoj, kiuj povas montri strangajn allogaĵojn en du aŭ eĉ unu dimensiaj sistemoj.
Historio |
La radikoj de la teorio de kaoso datiĝas de ĉirkaŭ 1900, en la studoj de Henri Poincaré pri la problemo de la moviĝo de tri objektoj en reciproka gravita allogaĵo, la tiel-nomita tri-korpa problemo.
Poincaré trovis, ke povas esti orbitoj kiuj estas neperiodaj, kaj tamen ne eterne pligrandiĝantaj nek proksimiĝantaj fiksan punkton.
Postaj studoj, ankaŭ pri la temo nelinearaj diferencialaj ekvacioj,
estis plenumita de George David Birkhoff, Andrej Kolmogorov, Mary Cartwright, J. E. Littlewood, kaj Stephen Smale.
Krom Smale, ĉi tiuj studoj estis ĉiuj rekte inspirita de fiziko:
- la tri-korpa problemo ĉe Birkhoff,
- turbuleco kaj astronomiaj problemoj ĉe Kolmogorov,
- radia inĝenierado ĉe Cartwright kaj Littlewood.
Kvankam kaosaplaneda moviĝo ne jam estas observita, eksperimentistoj jam renkontis turbulecon en fluaĵa moviĝo kaj neperioda oscilado en radiaj cirkvitoj sen la helpo de teorio por klarigi kion ili vidas.
La teorio de kaoso progresis pli rapide post la jarcentmezo, kiam por unua fojo iĝis evidenta al iu sciencistoj, ke lineara teorio, la tiame plej akceptata sistem-teorio, simple ne povas klarigi la observitan konduton de certaj eksperimentoj kiel tiu de la logistika mapo. La ĉefa katalizilo por la evoluo de la teorio de kaoso estis la elektronika komputilo. Multo el la matematiko de kaos-teorio utiligas la adan ripetadon de simplaj matematikaj formuloj, kio devus esti maloportuna por faro permana. Elektronikaj komputiloj faris ĉi tiajn ripetitajn kalkulojn oportunaj. Unu el la plej fruaj elektronikaj ciferecaj komputiloj, ENIAC, estis uzata por ruli simplajn veterajn prognozmodelojn.
Frua pioniro de la teorio estis Eduardo Lorenz kies interesiĝo en kaoso estiĝis hazarde pro lia laboro super vetera prognozado en 1961. Lorenz uzis bazan komputilon, Royal McBee LGP-30, por ruli sian veteran simuladon. Li deziris denove vidi certan vicon de datumoj, kaj por ŝpari tempon li restartis la simuladon meze de ĝia rulo. Li tion povis per enigado de printaĵo de la datumoj korespondantaj al kondiĉoj meze de lia simulado kiun li kalkulis jam la antaŭan fojon.
Je lia surprizo la vetero kiun la maŝino komencis prognozi estis plene malsama de la vetero antaŭe kalkulita. Lorenz elspuris tion al la komputila printaĵo. La printaĵo rondigis variablojn al 3-cifera nombro, sed la komputilo funkciis per 6-ciferaj nombroj. Ĉi tiu diferenco estas liliputa kaj la komuna opinio tiutempa estis, ke tio devus havi praktike nenian efikon. Tamen Lorenz estis malkovrinta, ke malgrandaj ŝanĝetoj en komencaj kondiĉoj produktas grandajn ŝanĝojn en la longtempa rezulto.
Yoshisuke Ueda sendepende identigis kaosan fenomenon kiel tia per uzo de analoga komputilo en la 27-a de novembro, 1961. La kaoso eksponata de analoga komputilo estas vere natura fenomeno, kontraste al tiuj esploritaj per cifereca komputilo. La kontrolanta profesoro de Ueda, Hayashi, malkredis je kaoso tra la tuta sia vivo, kaj tial li malpermesis al Ueda publikigi sian konstatan ĝis 1970.
La termino kaoso kiel ĝi estas uzata en matematiko estis inventita de la aplik-matematikisto James A. Yorke.
La havebleco de pli malmultekostaj, pli povaj komputiloj arĝigas la aplikeblon de kaos-teorio. Nun, kaos-teorio daŭras esti tre aktiva areo de esplorado.
Matematika teorio |
Matematikistoj inventis multajn aldonajn manierojn fari kvantecajn propoziciojn pri kaosaj sistemoj. Ĉi tiuj inkluzivas:
Fraktala dimensio de la altenaĵo- Ljapunovaj eksponentoj
- ripetecaj grafikaj prezentoj
- Mapoj de Poincaré
- forkiĝaj figuroj
- Transdona operatoro
Minimuma komplekseco de kaosasistemo |
Multaj simplaj sistemoj povas produkti kaoso ankaŭ sen uzado de diferencialaj ekvacioj, kiel ekzemple la logistika mapo, kiu estas diferenca ekvacio (ripeteca rilato), kiu priskribas loĝantaran kreskon tra tempo.
Eĉ la evoluo diskretaj sistemoj, kiel ĉelaj aŭtomatoj, povas peze dependi sur komencaj kondiĉoj. Stephen Wolfram estas esplorinta ĉelan aŭtomatadon kun ĉi tiu propraĵo, nomita de li regulo 30.
Aliaj ekzemploj de kaosasistemoj |
- Dulita pendolo
- Logistika surĵeto
- Surĵeto de Hénon
- Modelo de Lorenz
- Dinamika bilardo
- Cirkvito de Chua
- Surĵeto de Rössler
Apliko |
Kaosa teorio estas aplikata en multaj sciencaj disciplinoj: matematiko, fiziko, komputiko, ekonomiko, inĝenierado, financo, politiko, loĝantara dinamiko, psikologio, robotiko, kaj tiel plu.
Vidu ankaŭ |
- Teorio de forkiĝo
- Komplikeco
- Dinamika sistemo
- Fraktalo
- Aro de Mandelbrot
- Juliina aro
- Rando de kaoso
- Antaŭdirebleco
- Analizilo de kaosaj datumoj
Eksteraj ligiloj |
- Balancanta maŝino de Atwood (SAM)
- Resaltanta Pilko
- Mekanikaj kordoj
- Kapilaraj ondetoj
