Kdjykuj

En la supraj du bildoj, la 2-dimensia skalara kampo estas en nigra kaj blanka, nigro prezentas pli altajn valorojn, kaj ĝia gradiento estas prezentata per bluaj sagoj.

En matematiko, gradiento de skalara kampo estas vektora kampo, kiu en ĉi punkto direktiĝas al la fluo de la plej granda pligrandiĝo de la skalara kampo, kaj kies grando estas la rapideco de la pligrandiĝo.

Rapideco de pligrandiĝo de la skalara kampo en iu direkto povas esti kalkulita kiel skalara produto de la gradiento kaj unuobla vektoro en la direkto.

Interpretado de la gradiento |

Konsideru ĉambron en kiu la temperaturo estas donita per skalara kampo Φ{displaystyle Phi }, do je ĉiu punkto (x,y,z){displaystyle (x,y,z)} la temperaturo estas Φ(x,y,z){displaystyle Phi (x,y,z)}. Alprenu ke la temperaturo ne ŝanĝiĝas kun tempo. Tiam, je ĉiu punkto en la ĉambro, la gradiento je la punkto montras la direkton laŭ kiu iĝas pli varme plej rapide. La grandeco de la gradiento montras kiom rapide iĝas pli varme en ĉi tiu direkto.

Konsideri monteton, kies alto je punkto (x,y){displaystyle (x,y)} estas ϕ(x,y,z){displaystyle phi (x,y,z)}. La gradiento de ϕ{displaystyle phi } je punkto estas direkte al la plej kruta inklino je la punkto. La grandeco de la gradiento montras kiom kruta la inklino estas.

Formala difino |

La gradiento de skalara funkcio f(x) estas skribata kiel

∇→f{displaystyle {overrightarrow {nabla }}f} (aŭ ∇f{displaystyle {nabla }f}),

kie ∇{displaystyle nabla } (nabla operatoro) estas la vektora diferenciala operatoro. La gradiento de f(x) estas iam ankaŭ skribita kiel grad→ f{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }} f} (aŭ grad f).

En karteziaj koordinatoj en 2 dimensioj la esprimo estas

∇ϕ=(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y){displaystyle nabla phi ={begin{pmatrix}{frac {partial phi }{partial x}},{frac {partial phi }{partial y}}end{pmatrix}}} ,

en 3 dimensioj la esprimo estas

∇Φ=(∂Φ∂x,∂Φ∂y,∂Φ∂z){displaystyle nabla Phi ={begin{pmatrix}{frac {partial Phi }{partial x}},{frac {partial Phi }{partial y}},{frac {partial Phi }{partial z}}end{pmatrix}}} ,

kaj tiel plu en pli multaj dimensioj.

La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco gradiento ne dependas de koordinatosistemo uzata.

Lineara proksimumigo de funkcio |

Gradiento de funkcio f kun argumento en eŭklida spaco Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} kaj la rezulto en R{displaystyle mathbb {R} } en iu punkto x₀ in Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} donas la plej bonan linearan proksimumigon de f ĉirkaŭ x₀:

f(x)≈f(x0)+(∇f)x0⋅(x−x0){displaystyle f(x)approx f(x_{0})+(nabla f)_{x_{0}}cdot (x-x_{0})}

kie (∇f)x0{displaystyle (nabla f)_{x_{0}}} estas gradiento de f en x0{displaystyle x_{0}}, kaj la punkto signifas skalaran produton en Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}. Ĉi tio estas du la unuaj eroj de vico de Taylor de f je x₀.

En polusaj koordinatosistemoj |

En cilindraj koordinatoj:

∇F(ρ,θ,z)=(∂F∂ρ,1ρ∂F∂θ,∂F∂z){displaystyle nabla F(rho ,theta ,z)={begin{pmatrix}{frac {partial F}{partial rho }},{{frac {1}{rho }}{frac {partial F}{partial theta }}},{frac {partial F}{partial z}}end{pmatrix}}}

kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj

z estas koordinato koincidanta kun la kartezia.

En sferaj koordinatoj:

∇F(r,θ,ϕ)=(∂F∂r,1r∂F∂ϕ,1rsin⁡ϕ∂F∂θ){displaystyle nabla F(r,theta ,phi )={begin{pmatrix}{frac {partial F}{partial r}},{{frac {1}{r}}{frac {partial F}{partial phi }}},{{frac {1}{rsin phi }}{frac {partial F}{partial theta }}}end{pmatrix}}}

kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj

φ estas la zenita angulo.

Proprecoj |

Estu c skalara konstanto, estu u kaj v skalaraj kampoj.

grad c = 0

grad (c u) = c grad u

grad (u+v) = (grad u) + (grad v)

grad (u v) = u (grad v) + v (grad u)

Ekzemplo |

La gradiento de la funkcio Φ{displaystyle Phi } =2x+3y2−sin⁡(z){displaystyle =2x+3y^{2}-sin(z)} estas:

∇Φ=(∂Φ∂x,∂Φ∂y,∂Φ∂z)=(2,6y,−cos⁡(z)).{displaystyle nabla Phi ={begin{pmatrix}{frac {partial Phi }{partial x}},{frac {partial Phi }{partial y}},{frac {partial Phi }{partial z}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{2},{6y},{-cos(z)}end{pmatrix}}.}

Vidu ankaŭ |

• Gradienta teoremo


• Nabla operatoro


• Diverĝenco


• Kirlo (matematiko)


• Izolinio


• Matrico de Hesse