Kdjykuj

Tiu artikolo temas pri la "gaŭsa leĝo", kaj rilatas al la elektra kampo.
Analoga leĝo rilatas al la magneta kampo, laŭ la "leĝo de konservita flukso",
alienomita "gaŭsa leĝo pri magnetismo". Analoga leĝo rilatas al gravita kampo,
laŭ la "gaŭsa leĝo pri gravito". La ĝenerala teoremo rilatanta tiujn leĝojn
estas la teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso.

En fiziko, la gaŭsa leĝo, aŭ leĝo de Gauss, estas leĝo rilatanta al la distribuo de elektraj ŝargoj, kiuj kaŭzas elektran kampon. La gaŭsa leĝo esprimiĝas tiel:

Ĝi estis formulita de Carl Friedrich Gauss en 1835, sed ne eldonita ĝis 1867, t.e. post lia morto
^[1].

Ĝi estas integrala formo de unu el la kvar ekvacioj de Maxwell nomita ekvacio de Maxwell-Gauss, kaj estas fundamento de klasika elektromagnetismo.

En vakuo, por fermita gaŭsa surfaco S, la elektra flukso estas donita per sekvanta surfaca integralo:

∬S⊂⊃E→⋅dS→=Q(V)ε0;{displaystyle iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset {vec {mathbf {E} }}cdot d{vec {mathbf {S} }}={frac {Q(V)}{varepsilon _{0}}};;}

kie

• 
  Q(V) estas la tuta elektra ŝargo (inkluzivanta ambaŭ liberajn ŝargojn kaj barajn ŝargojn) en la volumeno V limigita de la surfaco S,


• 
  ε₀ estas la permitiveco de vakuo.

Diversaj formoj de ŝargoj |

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas plurajn punktajn ŝargoj, tiam la totala ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

Q(V)=∑qi{displaystyle Q(V)=sum q_{i}}

kie qi{displaystyle q_{i}} estas la elektra ŝargo de punkto i,

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas linian ŝargon kun lineara ŝarga denseco k{displaystyle k}, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

Q(V)=∫kdl{displaystyle Q(V)=int kmathrm {d} l}

,

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas enen surfacan ŝargon kun surfaca ŝarga denseco j{displaystyle j}, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

Q(V)=∬Sjds{displaystyle Q(V)=iint _{S}jmathrm {d} s}

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas volumenan ŝargon kun volumena ŝarga denseco ρ{displaystyle mathbf {rho } },

ρ=ρl+ρb{displaystyle mathbf {rho } =mathbf {rho _{l}} +mathbf {rho _{b}} }

kie ρl{displaystyle mathbf {rho _{l}} } estas ŝarga denseco de liberaj ŝargoj, kaj ρb{displaystyle mathbf {rho _{b}} } estas ŝarga denseco de baraj ŝargoj en la medio, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

Q(V)=∭V⊂⊃ρdV{displaystyle Q(V)=iiint _{V}!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;;;;subset !supset ;rho ;mathrm {d} V}

Demonstro de kulomba leĝo |

Elektra fluo de punkta ŝargo ene de sfero.

Konsideru sferon de radiuso r kun punkta elektra ŝargo q₁
(pozitiva aŭ negativa) lokata en ĝia centro, kiel indikita sur la desegno.
La elektra kampo E→{displaystyle {vec {E}}} estas paralela al la surfaca normala vektoro dS→{displaystyle {vec {dS}}}, kaj la kampo estas konstanta pri ĉiuj punktoj de la sfera surfaco.
Konsekvence:

ΦE=∬S⊂⊃E→⋅dS→=∬S⊂⊃Ecos⁡θdS{displaystyle Phi _{E}=iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset {vec {mathbf {E} }}cdot d{vec {mathbf {S} }}=iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset {mathbf {E} }cos theta d{mathbf {S} }}

ΦE=∬S⊂⊃Ecos⁡(0)dS=E⋅∬S⊂⊃dS=E⋅4πr2{displaystyle Phi _{E}=iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset {mathbf {E} }cos(0)d{mathbf {S} }=mathbf {E} cdot iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset d{mathbf {S} }=mathbf {E} cdot 4pi r^{2}},

ĉar la surfaco de sfero estas:
∬S⊂⊃dS=4πr2.{displaystyle iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset d{mathbf {S} }=4pi r^{2};.}
Laŭ la gaŭsa leĝo:

ΦE=q1ε0,{displaystyle Phi _{E}={frac {q_{1}}{varepsilon _{0}}};,}

do

E=q14πε0r2.{displaystyle mathbf {E} ={frac {q_{1}}{4pi varepsilon _{0}r^{2}}};.}

Se sur la surfaco S oni metas alian punktan elektran ŝargon q₂ (pozitivan aŭ negativan), tiu ŝargo estas submetita al la lorenca forto:

F→=q2⋅E→,{displaystyle {vec {mathbf {F} }}=q_{2}cdot {vec {mathbf {E} }};,}

tio estas (kun vektoro r→{displaystyle {vec {r}}} orientita de punkto q₁ al punkto q₂):

F→=q1q2.r→4πε0r2|r→|,{displaystyle {vec {mathbf {F} }}={frac {q_{1}q_{2};.;{vec {r}}}{4pi varepsilon _{0}r^{2}|{vec {r}}|}};,}

kio estas la kulomba leĝo.

Rilato al ekvacioj de Maxwell |

La ekvacio de Maxwell-Gauss per elektra ŝovodenso kaj sub diferenciala formo permesas dedukti la leĝon de Gauss, fakte de:

∇⋅D→=ρl,{displaystyle nabla cdot {vec {mathbf {D} }}=rho _{l};,}

la apliko de teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso al la ĉi-supra ekvacio rezultigas:

∬S⊂⊃D→⋅dS→=∭V⊂⊃ρldV,{displaystyle iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset {vec {mathbf {D} }}cdot d{vec {mathbf {S} }}=iiint _{V}!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;;;;subset !supset ;rho _{l};mathrm {d} V;,}

kio estas la gausa leĝo en ĝenerala medio (inkluzive dielektriko).
Pri lineara, uniforma, izotropa medio:

D→=εε0E→,{displaystyle {vec {mathbf {D} }}=varepsilon varepsilon _{0}{vec {mathbf {E} }};,}

kie ε estas la relativa permitiveco de la medio, do

∬S⊂⊃E→⋅dS→=Ql(V)εε0.{displaystyle iint _{S}!!!!!!!!!!!!!!!!;;;subset !supset {vec {mathbf {E} }}cdot d{vec {mathbf {S} }};={frac {Q_{l}(V)}{varepsilon varepsilon _{0}}};.}

Pri libera spaco ε = 1, Q_l(V) = Q(V), tial oni bone retrovas la originan gausan leĝon pri vakuo.

Vidu ankaŭ |

• Gaŭso


• Elektra konstanto


• Kulomba leĝo


• Lorenca forto


• Vektora kalkulo

Referencoj |

1. 
   ↑ Bellone, Enrico, A World on Paper: Studadoj pri la dua scienco revolucio, 1980.